Matlab-数组与矩阵

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这一篇文章将较深入讨论Matlab中数组与矩阵的用法。

数组

创建数组

方括号直接定义

见第一篇文章1.1

通过冒号

X=A:step:B
其中A是一维数组第一个元素，step是相邻两元素差值，直到最后一个元素和B的差的绝对值小于等于step的绝对值为止。
不指定step时，系统默认step=1.

logspace函数

y=logspace(a,b,n)
logspace，顾名思义可以理解为对数空间。该函数会创建行向量y，第一个元素为10a,最后一个元素为10b，形成元素总数为n的等比数列.
此函数也可写作y=logspace(a,b)，默认n为50.

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>> y=logspace(1,3,3)
y =
          10         100        1000

linspace函数

y=linspace(a,b,n)
linspace，顾名思义可以理解为线性空间。该函数会创建行向量y，第一个元素为a，最后一个元素为b，形成元素总数为n的等差数列.
此函数也可写作y=linspace(a,b)，默认n为100.

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>> y=linspace(1,10,10)
y =
     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

注：当n<2时，函数返回b数值.

数组运算

数值运算

加减运算

维度相同的数组对应位置元素相加减。

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>> A=[1 2 3 4 5 6];
>> B=[6 5 4 3 2 1];
>> A+B
ans =
     7     7     7     7     7     7
>> A-B
ans =
    -5    -3    -1     1     3     5

乘法运算

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>> A=[1 2 3 4 5 6];B=[6 5 4 3 2 1];
>> A.*B
ans =
     6    10    12    12    10     6

维度相同的数组对应位置元素相乘。
注意此处有一个点运算符，与乘号连用，以区别于以下向量乘法。

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>> A=[1 2 3 4 5 6];
>> B=B'    %将行向量B转置为列向量
B =
     6
     5
     4
     3
     2
     1
>> A*B
ans =
    56

除法运算

数组与常数相除

数组中每一个元素除以该常数

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>> A=[1 5 6 8 9 6];
>> A./3
ans =
    0.3333    1.6667    2.0000    2.6667    3.0000    2.0000

数组与常数相除可不加点运算符，含义一致。

左除与右除
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>> A=[1 5 6 8 9 6];
>> B=[9 5 6 2 4 0];
>> A.\B     %左除
ans =
    9.0000    1.0000    1.0000    0.2500    0.4444         0
>> A./B     %右除
ans =
    0.1111    1.0000    1.0000    4.0000    2.2500       Inf

左除与右除记号很好区分，就看斜线上端侧向哪边。左除在键盘backspace键下方。我们日常使用的都是右除。
左除与右除的概念，即到底是谁除谁，可以这样看。谁在上方谁就是分子。比如左除‘ A.\B ’，可看作B在上方，所以是用B中元素除以A中对应位置的元素。

乘方运算

数组中每一个元素进行乘方,或者某数字做数组中每一个元素的次方运算。

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>> A.^3
ans =
     1   125   216   512   729   216
>> 3.^A
ans =
  1 至 5 列
           3         243         729        6561       19683
  6 列
         729

关系运算

<    小于
<=    小于等于
>    大于
>=    大于等于
==    恒等于
~=    不等于

逻辑运算

&    与
|    或
~    非
逻辑运算对单个元素来说，非零为真，逻辑运算结果为1.

矩阵

创建矩阵

第一篇文章1.1以及第二篇文章1.1，都有关于矩阵创建的一些常用函数。这里我们了解几个颇有特色的矩阵，它们在系统测试、数学模拟等方面有着重要作用。

希尔伯特(Hilbert)矩阵

希尔伯特矩阵也称H阵，其元素为Hij=1/(i+j-1).

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>> A=hilb(3)   %生成3×3的希尔伯特矩阵
A =
    1.0000    0.5000    0.3333
    0.5000    0.3333    0.2500
    0.3333    0.2500    0.2000
>> B=invhilb(3)   %生成3×3的希尔伯特矩阵的逆矩阵且为整数
B =
     9   -36    30
   -36   192  -180
    30  -180   180

希尔伯特矩阵与其逆矩阵都是对称矩阵，文章封面的图片就是用灰阶图表示的希尔伯特矩阵。

托普利兹(Toeplitz)矩阵

由两个向量定义，一个行向量，一个列向量。
命令toeplitz(k,r)
生成非对称托普利兹矩阵，第一列为k,第一行为r(k,r均为向量).其余元素等于该元素左上角元素的值.

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>> toeplitz(2:5,2:2:8)   
ans =
     2     4     6     8
     3     2     4     6
     4     3     2     4
     5     4     3     2
>> toeplitz(2:5)   %用同一向量定义托普利兹矩阵
ans =
     2     3     4     5
     3     2     3     4
     4     3     2     3
     5     4     3     2

0~1均匀分布的随机矩阵

r=rand(n)   产生n×n的矩阵，其元素均为0~1间均匀分布的样本.
r=rand(m,n)   产生n×m的矩阵，其元素性质同上.
更高维度的矩阵依次增加括号中数字个数即可。

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>> rand(3,3,3)
ans(:,:,1) =
    0.8147    0.9134    0.2785
    0.9058    0.6324    0.5469
    0.1270    0.0975    0.9575
ans(:,:,2) =
    0.9649    0.9572    0.1419
    0.1576    0.4854    0.4218
    0.9706    0.8003    0.9157
ans(:,:,3) =
    0.7922    0.0357    0.6787
    0.9595    0.8491    0.7577
    0.6557    0.9340    0.7431

本例产生了一个3×3×3的立方矩阵，矩阵中的元素像三阶魔方一样排列在三维空间中.

标准正态分布随机矩阵

r=randn(n)
与上一种矩阵的区别就是总体分布由0~1的均匀分布，变为标准正态分布。命令即‘rand’后多加一个字母‘n’.

魔方矩阵

魔方矩阵每行、列、对角线上元素和相等。

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>> A=magic(3)
A =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
>> sum(A)   %计算每行的和（sum函数的作用）
ans =
    15    15    15
>> sum(A')   %计算每列的和（'用作转置）
ans =
    15    15    15

帕斯卡矩阵

A=pascal(n)   返回n阶对称正定Pascal矩阵.

范德蒙德(Vandermonde)矩阵

A=vander(v)   矩阵的列是向量v的幂,即A(i,j)=v(n-j)(i)

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>> A=vander([1 2 3 4])
A =
     1     1     1     1
     8     4     2     1
    27     9     3     1
    64    16     4     1

编辑矩阵

合并矩阵

见第一篇文章1.2.3

删除行列

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>> A=vander([1 2 3 4])
A =
     1     1     1     1
     8     4     2     1
    27     9     3     1
    64    16     4     1
>> A(2,:)=[]   %删除第2行
A =
     1     1     1     1
    27     9     3     1
    64    16     4     1
>> A(:,2)=[]   %删除第2列
A =
     1     1     1
    27     3     1
    64     4     1

重构矩阵

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A =
  1 至 3 列
   2.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i   6.0000 + 0.0000i
   3.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i
   4.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i
   5.0000 + 1.0000i   4.0000 + 1.0000i   3.0000 + 1.0000i
  4 列
   8.0000 + 0.0000i
   6.0000 + 0.0000i
   4.0000 + 0.0000i
   2.0000 + 1.0000i
>> A.'      %仅转置矩阵A
ans =
  1 至 3 列
   2.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i
   4.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i
   6.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i
   8.0000 + 0.0000i   6.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i
  4 列
   5.0000 + 1.0000i
   4.0000 + 1.0000i
   3.0000 + 1.0000i
   2.0000 + 1.0000i
>> A'      %转置矩阵A，同时如果A中元素是复数，那么所有元素也是共轭的.
ans =
  1 至 3 列
   2.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i
   4.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i
   6.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i
   8.0000 + 0.0000i   6.0000 + 0.0000i   4.0000 + 0.0000i
  4 列
   5.0000 - 1.0000i
   4.0000 - 1.0000i
   3.0000 - 1.0000i
   2.0000 - 1.0000i

矩阵元素运算

加减运算

相同维度的矩阵对应元素（或常数）相加（减）.

乘法运算

数乘

矩阵相乘

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>> A
A =
     2     1     4     0
     1    -1     3     4
>> B
B =
     1     3     1
     0    -1     2
     1    -3     1
     4     0    -2
>> A*B
ans =
     6    -7     8
    20    -5    -6
>> B*A
错误使用  * 
内部矩阵维度必须一致。

除法运算

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>> A
A =
     1     2
     1     3
>> B
B =
     1     0
     1     2
	 
>> A\B   %左除
ans =
     1    -4
     0     2
>> A/B   %右除
ans =
         0    1.0000
   -0.5000    1.5000

幂运算

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A =
     2     3     8
     3     1    -1
     5     0     4
>> A^2
ans =
    53     9    45
     4    10    19
    30    15    56
>> A^5
ans =
       37496       13827       52622
       10077        2887       11891
       34295       11250       44464

元素查找：find函数

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>> A=[1 3 0;3 1 0;9 2 4]
A =
     1     3     0
     3     1     0
     9     2     4
>> B=find(A);   %矩阵中非零元素的下标
>> C=find(A>=1);   %矩阵中大于等于1的元素下标
>> D=A(A>=1);   %矩阵中大于等于1的元素
>> BCD=[B,C,D]
BCD =
     1     1     1
     2     2     3
     3     3     9
     4     4     3
     5     5     1
     6     6     2
     9     9     4
>> A(find(A==0))=10   %矩阵中的等于0的元素改为10
A =
     1     3    10
     3     1    10
     9     2     4

元素排序：sort函数

按照升序排列，排列后矩阵维数与原矩阵相同。
B=sort(A)   对矩阵A进行升序排列.
B=sort(A,dim)   当dim=1时，按列排序；当dim=2时，按行排列。
B=sort(…,mode)   mode表示可指定排序方式，‘ascend’为升序，‘descend’为降序。

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A =
     1     3     0
     3     1     0
     9     2     4
>> B=sort(A)      %按列升序
B =
     1     1     0
     3     2     0
     9     3     4
>> C=sort(A,2)      %按行升序
C =
     0     1     3
     0     1     3
     2     4     9
>> D=sort(A,'descend')     %按列降序
D =
     9     3     4
     3     2     0
     1     1     0
>> E=sort(A,2,'descend')      %按行降序
E =
     3     1     0
     3     1     0
     9     4     2

元素求和：sum与cumsum函数

B=sum(A)   按列求和
B=sum(A,dim)   当dim=1，按列求和；当dim=2，按行求和。
B=cumsum(A,dim)   与sum函数不同的是，cumsum函数返回一个矩阵，每个元素的值为从该列（行）第一个元素到自己的和,我称它为累计和。

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A =
     1     3     0
     3     1     0
     9     2     4
>> B=sum(A)      %按列求和
B =
    13     6     4
>> C=sum(A,2)      %按行求和
C =
     4
     4
    15
>> D=cumsum(A)      %按列求累计和
D =
     1     3     0
     4     4     0
    13     6     4
>> E=cumsum(A,2)      %按行求累计和
E =
     1     4     4
     3     4     4
     9    11    15
>> F=sum(sum(A))      %求矩阵所有元素的和
F =
    23

元素求积：prod与cumprod函数

函数调用方式与求和一样，不多赘述。

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27
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29
30
31
32
33
34
35
36
37
>> A=magic(3)
A =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
>> B=prod(A)
B =
    96    45    84
>> C=prod(A,2)
C =
    48
   105
    72
>> D=cumprod(A)
D =
     8     1     6
    24     5    42
    96    45    84
>> E=cumprod(A,2)
E =
     8     8    48
     3    15   105
     4    36    72

元素的差分：diff函数

差分：Δf ( xk ) = f ( xk+1 ) - f ( xk )
在矩阵中即后项减前项。
Y=diff(X,n,dim)   计算矩阵在给定维数dim上元素的n阶差分。同样，当dim=1，按列计算；当dim=2，按行计算。

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34
35
>> A=magic(3)
A =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
>> B=diff(A)      %按列求差分
B =
    -5     4     1
     1     4    -5
>> C=diff(A,2)      %按列求2阶差分（即B矩阵再求一次差分）
C =
     6     0    -6
>> D=diff(A,1,1)      %按列求差分
D =
    -5     4     1
     1     4    -5
>> E=diff(A,1,2)      %按行求差分
E =
    -7     5
     2     2
     5    -7